直線 $x + y - \pi = 0$ と円 $x^2 + y^2 = 5$ の共有点の個数を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x + y - \pi = 0$ と円 $x^2 + y^2 = 5$ の共有点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心から直線までの距離を求め、円の半径と比較することで共有点の個数を判定する。

円の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{5}$ である。

直線 $x + y - \pi = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できる。

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

ここで、$A = 1$, $B = 1$, $C = -\pi$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ であるから、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - \pi|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\pi|}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

$\pi \approx 3.14$ であるから、$\frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.41} \approx 2.23$

円の半径 $\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、 $d < \sqrt{5}$ となり、直線と円は異なる2点で交わる。

3. 最終的な答え

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