平面上の2つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$ を満たしている。ベクトル方程式 $(\vec{p} - 2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{p} - 2\vec{a} - \vec{b}) = 0$ で定まる円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の2つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$ を満たしている。ベクトル方程式 $(\vec{p} - 2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{p} - 2\vec{a} - \vec{b}) = 0$ で定まる円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられたベクトル方程式を変形して、円の方程式の標準形を導き出す。

$(\vec{p} - 2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{p} - 2\vec{a} - \vec{b}) = 0$ を展開すると、

$(\vec{p} - 2\vec{a})^2 + (\vec{p} - 2\vec{a}) \cdot (3\vec{b} - (-\vec{b})) + (3\vec{b}) \cdot (-\vec{b}) = 0$

$(\vec{p} - 2\vec{a})^2 + 4\vec{b} \cdot (\vec{p} - 2\vec{a}) - 3|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{p}^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{p} + 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{b} \cdot \vec{p} - 8\vec{a} \cdot \vec{b} - 3|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{p}^2 + (4\vec{b} - 4\vec{a}) \cdot \vec{p} + 4|\vec{a}|^2 - 8\vec{a} \cdot \vec{b} - 3|\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{p}^2 + 2(2\vec{b} - 2\vec{a}) \cdot \vec{p} = -4|\vec{a}|^2 + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 3|\vec{b}|^2$

$(\vec{p} + 2\vec{b} - 2\vec{a})^2 - (2\vec{b} - 2\vec{a})^2 = -4|\vec{a}|^2 + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 3|\vec{b}|^2$

$(\vec{p} - (2\vec{a} - 2\vec{b}))^2 = 4|\vec{b}|^2 - 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{a}|^2 - 4|\vec{a}|^2 + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 3|\vec{b}|^2$

$(\vec{p} - (2\vec{a} - 2\vec{b}))^2 = 7|\vec{b}|^2 = 7(2^2) = 28$

$|\vec{p} - (2\vec{a} - 2\vec{b})|^2 = 28$

$|\vec{p} - (2\vec{a} - 2\vec{b})| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

この方程式は、中心が $2\vec{a} - 2\vec{b}$ で、半径が $2\sqrt{7}$ の円を表す。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{7}$