次の不定積分を求めます。 $\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx$

## 問題276 (1)

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos x$ と置換します。すると、$dt = -\sin x dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x (\cos x + 1)} dx = \int \frac{-1}{t(t+1)} dt$

ここで、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{-1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$

両辺に $t(t+1)$ を掛けると、

$-1 = A(t+1) + Bt$

$t=0$ のとき、$A = -1$

$t=-1$ のとき、$-1 = -B$ よって $B=1$

したがって、

$\frac{-1}{t(t+1)} = \frac{-1}{t} + \frac{1}{t+1}$

これより、積分は次のようになります。

$\int \frac{-1}{t(t+1)} dt = \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t+1} \right) dt = -\int \frac{1}{t} dt + \int \frac{1}{t+1} dt$

$= - \ln |t| + \ln |t+1| + C$

$= \ln \left| \frac{t+1}{t} \right| + C$

ここで、$t = \cos x$ に戻すと、

$\ln \left| \frac{\cos x + 1}{\cos x} \right| + C = \ln \left| 1 + \frac{1}{\cos x} \right| + C$

$= \ln |1 + \sec x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |1 + \sec x| + C$