次の2つの不定方程式の整数解をすべて求めます。 (1) $17x + 5y = 1$ (2) $27x - 13y = 2$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式の整数解をすべて求めます。

(1) $17x + 5y = 1$

(2) $27x - 13y = 2$

2. 解き方の手順

(1) $17x + 5y = 1$

まず、特殊解を求めます。ユークリッドの互除法を使うか、または適当な整数を代入して見つけます。

$17(2) + 5(-6) = 34 - 30 = 4$

$17(-1) + 5(4) = -17 + 20 = 3$

$17(3) + 5(-10) = 51 - 50 = 1$

したがって、$x=3, y=-10$ は特殊解の一つです。

次に、一般解を求めます。

$17x + 5y = 1$

$17(3) + 5(-10) = 1$

辺々引くと

$17(x-3) + 5(y+10) = 0$

$17(x-3) = -5(y+10)$

17と5は互いに素なので、$x-3$ は5の倍数、$y+10$ は17の倍数となります。

$x-3 = 5k$ (kは整数)

$y+10 = -17k$

したがって、

$x = 5k + 3$

$y = -17k - 10$

(2) $27x - 13y = 2$

まず、特殊解を求めます。

$27(1) - 13(2) = 27 - 26 = 1$

$27(2) - 13(4) = 2$

したがって、$x=2, y=4$ は特殊解の一つです。

次に、一般解を求めます。

$27x - 13y = 2$

$27(2) - 13(4) = 2$

辺々引くと

$27(x-2) - 13(y-4) = 0$

$27(x-2) = 13(y-4)$

27と13は互いに素なので、$x-2$ は13の倍数、$y-4$ は27の倍数となります。

$x-2 = 13k$ (kは整数)

$y-4 = 27k$

したがって、

$x = 13k + 2$

$y = 27k + 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 3$, $y = -17k - 10$ (kは整数)

(2) $x = 13k + 2$, $y = 27k + 4$ (kは整数)