多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ で、余りが $-3x + 1$ である。多項式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 1$ で、余りが $-3x + 1$ である。多項式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式から、

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x - 1) + (-3x + 1)$

が成り立つ。この式を変形して $B$ を求める。

まず、余りを移項する。

$x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x + 1) = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = B(x - 1)$

$x^3 + x^2 - 2 = B(x - 1)$

次に、$B$ について解く。

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x - 1}$

多項式の割り算を行う。

$x^3 + x^2 - 2$ を $x - 1$ で割る。

```

x^2 + 2x + 2

x - 1 | x^3 + x^2 + 0x - 2

x^3 - x^2

---------

2x^2 + 0x

2x^2 - 2x

---------

2x - 2

2x - 2

---------

0

```

したがって、$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x + 2$