複素数 $z$ についての方程式 $z^6 + z^3 + 1 = 0$ の解を極形式で求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ についての方程式 $z^6 + z^3 + 1 = 0$ の解を極形式で求める。

2. 解き方の手順

まず、$z^3 = w$ とおくと、与えられた方程式は

$$w^2 + w + 1 = 0$$

となる。この2次方程式を解くと、

$$w = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

つまり、

$$w = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad w = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

これらを極形式で表すと、

$$w = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = e^{i\frac{2\pi}{3}}$$

$$w = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = e^{i\frac{4\pi}{3}}$$

したがって、$z^3 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ または $z^3 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ を満たす。

$z^3 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ の解は、

$$z = e^{i\left(\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\right)}, \quad k = 0, 1, 2$$

すなわち、

$$z = e^{i\frac{2\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{8\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{14\pi}{9}}$$

$z^3 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ の解は、

$$z = e^{i\left(\frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\right)}, \quad k = 0, 1, 2$$

すなわち、

$$z = e^{i\frac{4\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{10\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{16\pi}{9}}$$

以上より、$z^6 + z^3 + 1 = 0$ の解は、

$$z = e^{i\frac{2\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{4\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{8\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{10\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{14\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{16\pi}{9}}$$

3. 最終的な答え

$z = e^{i\frac{2\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{4\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{8\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{10\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{14\pi}{9}}, \quad e^{i\frac{16\pi}{9}}$