多項式 $2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x^2 + x - 3$、余りが $3x + 8$ である。このとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x^2 + x - 3$、余りが $3x + 8$ である。このとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式を思い出す。

割られる多項式 = (割る多項式) × (商) + (余り)

この問題の場合、

$2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = A(x^2 + x - 3) + (3x + 8)$

$A$ を求めるには、まず $A(x^2 + x - 3)$ を計算し、その後で $A$ を求める。

$A(x^2 + x - 3) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 3x - 1 - (3x + 8)$

$A(x^2 + x - 3) = 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9$

次に、$A$ を求めるために、両辺を $x^2 + x - 3$ で割る。

$A = (2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 9) / (x^2 + x - 3)$

筆算で多項式の割り算を行う。

```

2x^2 + x + 1

x^2+x-3 | 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 0x - 9

-(2x^4 + 2x^3 - 6x^2)

----------------------

x^3 + 4x^2 + 0x

-(x^3 + x^2 - 3x)

----------------------

3x^2 + 3x - 9

-(3x^2 + 3x - 9)

----------------------

0

```

3. 最終的な答え

$A = 2x^2 + x + 3$