複素数 $\alpha$、$\beta$について、$\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta$ が実数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$、$\beta$について、$\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta$ が実数であることを証明する。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が実数であることは、その共役複素数 $\overline{z}$ が $z$ に等しいことと同値です。つまり、$z = \overline{z}$ が成り立てば、$z$ は実数です。

そこで、$z = \alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta$ とおき、$\overline{z} = z$ を示すことを目指します。

$z$ の共役複素数 $\overline{z}$ を計算します。複素数の和の共役複素数は、それぞれの共役複素数の和に等しく、複素数の積の共役複素数は、それぞれの共役複素数の積に等しいことを利用します。

$$\overline{z} = \overline{\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta} = \overline{\alpha \overline{\beta}} + \overline{\overline{\alpha} \beta} = \overline{\alpha} \overline{\overline{\beta}} + \overline{\overline{\alpha}} \overline{\beta}$$

複素数の共役複素数の共役複素数は元の複素数に戻るので、$\overline{\overline{\beta}} = \beta$ かつ $\overline{\overline{\alpha}} = \alpha$ です。

したがって、

$$\overline{z} = \overline{\alpha} \beta + \alpha \overline{\beta}$$

これは $z$ の定義と同じであるため、$\overline{z} = z$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha} \beta$ は実数である。