与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。ただし、$a, b$ は正の数とします。 (1) $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ (2) $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。ただし、$a, b$ は正の数とします。

(1) $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$

(2) $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ の証明

相加相乗平均の不等式を利用します。$a>0$ より、$\frac{a}{4} > 0$, $\frac{9}{a} > 0$ なので、

$$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} \cdot \frac{9}{a}} = 2 \sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$$

よって、$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が成り立ちます。

等号成立条件は、$\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$ のときです。

$$a^2 = 36$$

$a > 0$ より、$a = 6$ のとき等号が成り立ちます。

(2) $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$ の証明

左辺を展開します。

$$(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) = a \cdot \frac{b}{3} + a \cdot \frac{2}{a} + \frac{24}{b} \cdot \frac{b}{3} + \frac{24}{b} \cdot \frac{2}{a}$$

$$= \frac{ab}{3} + 2 + 8 + \frac{48}{ab} = \frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} + 10$$

相加相乗平均の不等式を利用します。$\frac{ab}{3} > 0$, $\frac{48}{ab} > 0$ より、

$$\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} \geq 2 \sqrt{\frac{ab}{3} \cdot \frac{48}{ab}} = 2 \sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$$

したがって、

$$\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} + 10 \geq 8 + 10 = 18$$

よって、$(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$ が成り立ちます。

等号成立条件は、$\frac{ab}{3} = \frac{48}{ab}$ のときです。

$$(ab)^2 = 144$$

$ab > 0$ より、$ab = 12$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ は証明された。等号成立条件は $a = 6$ のとき。

(2) 不等式 $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$ は証明された。等号成立条件は $ab = 12$ のとき。