不等式 $|x-1| \geq -2x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| \geq -2x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む不等式を解く場合、絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考えます。

場合1: $x-1 \geq 0$ すなわち $x \geq 1$ のとき

このとき、$|x-1| = x-1$ なので、不等式は $x-1 \geq -2x$ となります。

これを解くと、

$x + 2x \geq 1$

$3x \geq 1$

$x \geq \frac{1}{3}$

この条件と、$x \geq 1$ を満たす範囲は $x \geq 1$ です。

場合2: $x-1 < 0$ すなわち $x < 1$ のとき

このとき、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、不等式は $1-x \geq -2x$ となります。

これを解くと、

$-x + 2x \geq -1$

$x \geq -1$

この条件と、$x < 1$ を満たす範囲は $-1 \leq x < 1$ です。

場合1と場合2を合わせたものが解になります。

$x \geq 1$ と $-1 \leq x < 1$ を合わせると、$x \geq -1$ となります。

3. 最終的な答え

$x \geq -1$