方程式 $z^4 = 8(-1 + \sqrt{3}i)$ を解け。

1. 問題の内容

方程式 $z^4 = 8(-1 + \sqrt{3}i)$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、右辺の複素数を極形式で表します。

$-1 + \sqrt{3}i$ の絶対値は $\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$-1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$ と表せます。

元の式は $z^4 = 8 \cdot 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 16 (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$ となります。

$z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^4 = r^4 (\cos 4\phi + i \sin 4\phi)$ です。

したがって、$r^4 = 16$ かつ $4\phi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (kは整数) を満たす必要があります。

$r > 0$ より $r = 2$ です。

$\phi = \frac{2\pi}{12} + \frac{2k\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$ です。

$k = 0, 1, 2, 3$ に対して異なる解が得られます。

* $k = 0$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{6}$ なので、$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

* $k = 1$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ なので、$z = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \sqrt{3}i$

* $k = 2$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ なので、$z = 2(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$

* $k = 3$ のとき、$\phi = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$ なので、$z = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$z = \sqrt{3} + i, -1 + \sqrt{3}i, -\sqrt{3} - i, 1 - \sqrt{3}i$