与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題を解きます。 (1) $\frac{2}{i}$ (2) $\frac{1}{-4i}$ (3) $\frac{5}{1+2i}$ (4) $\frac{8i}{2-3i}$ (5) $\frac{2+3i}{1+3i}$ (6) $\frac{3-2i}{3+2i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題を解きます。

(1) $\frac{2}{i}$

(2) $\frac{1}{-4i}$

(3) $\frac{5}{1+2i}$

(4) $\frac{8i}{2-3i}$

(5) $\frac{2+3i}{1+3i}$

(6) $\frac{3-2i}{3+2i}$

2. 解き方の手順

複素数の分母に虚数単位 $i$ が含まれる場合、分母の共役複素数を分母と分子に掛けることで分母を実数化します。

(1) $\frac{2}{i}$ の場合

分母の共役複素数は $-i$ なので、分母と分子に $-i$ を掛けます。

$\frac{2}{i} = \frac{2 \times (-i)}{i \times (-i)} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{-(-1)} = \frac{-2i}{1} = -2i$

(2) $\frac{1}{-4i}$ の場合

分母の共役複素数は $4i$ なので、分母と分子に $4i$ を掛けます。

$\frac{1}{-4i} = \frac{1 \times (4i)}{-4i \times (4i)} = \frac{4i}{-16i^2} = \frac{4i}{-16(-1)} = \frac{4i}{16} = \frac{i}{4}$

(3) $\frac{5}{1+2i}$ の場合

分母の共役複素数は $1-2i$ なので、分母と分子に $1-2i$ を掛けます。

$\frac{5}{1+2i} = \frac{5 \times (1-2i)}{(1+2i) \times (1-2i)} = \frac{5-10i}{1^2 - (2i)^2} = \frac{5-10i}{1 - 4i^2} = \frac{5-10i}{1 - 4(-1)} = \frac{5-10i}{1+4} = \frac{5-10i}{5} = 1-2i$

(4) $\frac{8i}{2-3i}$ の場合

分母の共役複素数は $2+3i$ なので、分母と分子に $2+3i$ を掛けます。

$\frac{8i}{2-3i} = \frac{8i \times (2+3i)}{(2-3i) \times (2+3i)} = \frac{16i + 24i^2}{2^2 - (3i)^2} = \frac{16i + 24(-1)}{4 - 9i^2} = \frac{16i - 24}{4 - 9(-1)} = \frac{-24+16i}{4+9} = \frac{-24+16i}{13} = -\frac{24}{13} + \frac{16}{13}i$

(5) $\frac{2+3i}{1+3i}$ の場合

分母の共役複素数は $1-3i$ なので、分母と分子に $1-3i$ を掛けます。

$\frac{2+3i}{1+3i} = \frac{(2+3i) \times (1-3i)}{(1+3i) \times (1-3i)} = \frac{2 - 6i + 3i - 9i^2}{1^2 - (3i)^2} = \frac{2 - 3i - 9(-1)}{1 - 9i^2} = \frac{2 - 3i + 9}{1 - 9(-1)} = \frac{11 - 3i}{1+9} = \frac{11-3i}{10} = \frac{11}{10} - \frac{3}{10}i$

(6) $\frac{3-2i}{3+2i}$ の場合

分母の共役複素数は $3-2i$ なので、分母と分子に $3-2i$ を掛けます。

$\frac{3-2i}{3+2i} = \frac{(3-2i) \times (3-2i)}{(3+2i) \times (3-2i)} = \frac{9 - 6i - 6i + 4i^2}{3^2 - (2i)^2} = \frac{9 - 12i + 4(-1)}{9 - 4i^2} = \frac{9 - 12i - 4}{9 - 4(-1)} = \frac{5 - 12i}{9+4} = \frac{5-12i}{13} = \frac{5}{13} - \frac{12}{13}i$

3. 最終的な答え

(1) $-2i$

(2) $\frac{i}{4}$

(3) $1-2i$

(4) $-\frac{24}{13} + \frac{16}{13}i$

(5) $\frac{11}{10} - \frac{3}{10}i$

(6) $\frac{5}{13} - \frac{12}{13}i$