与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は禁止されています。どのような基本変形を行ったかを明記する必要があります。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は禁止されています。どのような基本変形を行ったかを明記する必要があります。

行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて行列式を計算します。目標は、行列を上三角行列に変形することです。

(1) 2行目から1行目の2倍を引きます（② - ① x 2）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

(2) 3行目に1行目を足します（③ + ①）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

(3) 4行目から1行目の3倍を引きます（④ - ① x 3）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

(4) 3行目から2行目の5倍を引きます（③ - ② x 5）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{vmatrix}

$$

(5) 4行目から2行目の2倍を引きます（④ - ② x 2）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{vmatrix}

$$

(6) 4行目から3行目の-4/19倍を引きます（④ - ③ x (-4/19)）。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -4 + \frac{-12 \cdot 4}{19}

\end{vmatrix}

$$

$$

=

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & \frac{-76 + 48}{19}

\end{vmatrix}

$$

$$

=

\begin{vmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -\frac{28}{19}

\end{vmatrix}

$$

行列式は対角成分の積で計算できます。

$1 \times 1 \times (-19) \times (-\frac{28}{19}) = 28$

3. 最終的な答え

28