与えられた行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。行列は $ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ です。サラスの公式は使えません。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

2 & 9 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

です。サラスの公式は使えません。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を上三角行列に変形させます。行基本変形は行列式を変える可能性がありますが、行の入れ替えは符号を変え、ある行を定数倍したものを別の行に加える操作は行列式の値を変更しません。

1. 2行目を(2行目 - 2 * 1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

-1 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

2. 3行目を(3行目 + 1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

3 & 14 & 1 & 2

\end{pmatrix}

$$

3. 4行目を(4行目 - 3 * 1行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 5 & 1 & 3 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

4. 3行目を(3行目 - 5 * 2行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 2 & 4 & 2

\end{pmatrix}

$$

5. 4行目を(4行目 - 2 * 2行目)で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & -4 & -4

\end{pmatrix}

$$

6. 4行目を(19 * 4行目 - 4 * 3行目) / 19で置き換えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 4 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 4 & 3 \\

0 & 0 & -19 & -12 \\

0 & 0 & 0 & -28/19

\end{pmatrix}

$$

これで上三角行列になったので、対角成分を掛け合わせると行列式が求まります。

$1 * 1 * (-19) * (-28/19) = 28$

3. 最終的な答え

28