与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用不可です。 行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、行基本変形を用いて計算する問題です。サラスの方法は使用不可です。

行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 9 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 14 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行基本変形を用いて、与えられた行列を上三角行列に変形します。上三角行列の行列式は、対角成分の積で求められます。

手順1: 2行目から1行目の2倍を引く（2行 - 1行 * 2）。

3行目に1行目を足す（3行 + 1行）。

4行目から1行目の3倍を引く（4行 - 1行 * 3）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

手順2: 3行目から2行目の5倍を引く（3行 - 2行 * 5）。

4行目から2行目の2倍を引く（4行 - 2行 * 2）。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{vmatrix}$

手順3: 4行目から3行目の(-4/-19)倍を引く。（4行 - 3行 * (-4/19) = 4行 + 3行 * (4/19)）

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & -4 + \frac{-12 * 4}{19} \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-76 - 48}{19} \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -19 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-124}{19} \end{vmatrix}$

手順4: 対角成分を掛け合わせる。

$1 * 1 * (-19) * \frac{-124}{19} = 124$

3. 最終的な答え

124