三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CA=5$ であるとき、以下の2つの問いに答える。 (1) $\angle A$ の大きさを求めよ。 (2) 三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=7$, $CA=5$ であるとき、以下の2つの問いに答える。

(1) $\angle A$ の大きさを求めよ。

(2) 三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle A$ の大きさを求める。余弦定理を用いる。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \times AB \times CA \times \cos A$

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos A$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos A$

$49 = 34 - 30 \cos A$

$15 = -30 \cos A$

$\cos A = -\frac{1}{2}$

したがって、$A = 120^{\circ}$

(2) 三角形ABCの内接円の半径を求める。まず、三角形の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times CA \times \sin A$

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin 120^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

次に、三角形の内接円の半径をrとする。三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$ で表される。

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(3 + 7 + 5)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(15)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15}{2}r$

$r = \frac{15\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{15}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 120^{\circ}$

(2) 内接円の半径 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$