画像には、$x > 0$、$\frac{5}{x} > 0$ の条件の下で、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、ある不等式を評価しています。その結果、$x = \sqrt{5}$ の時に等号が成立し、$cos∠ACB$ が最小値 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をとる、と書かれています。質問は、なぜ等号成立の時に $cos∠ACB$ が最小値をとるのか、です。

1. 問題の内容

画像には、$x > 0$、$\frac{5}{x} > 0$ の条件の下で、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、ある不等式を評価しています。その結果、$x = \sqrt{5}$ の時に等号が成立し、$cos∠ACB$ が最小値 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をとる、と書かれています。質問は、なぜ等号成立の時に $cos∠ACB$ が最小値をとるのか、です。

2. 解き方の手順

まず、相加平均と相乗平均の大小関係を確認します。$a > 0$, $b > 0$ のとき、

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

が成り立ち、等号成立は $a = b$ の時です。

次に、$cos∠ACB$ がどのような式で表されるかを確認する必要があります。画像からは正確な式を読み取ることはできませんが、おそらく、$cos∠ACB$ は $x$ と $\frac{5}{x}$ を含む式で表され、相加平均と相乗平均の大小関係を適用できるような形になっていると考えられます。

例えば、$cos∠ACB = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + \frac{5}{x})$ のような式だと仮定しましょう（これはあくまで仮定です）。

このとき、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$x + \frac{5}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{5}{x}} = 2\sqrt{5}$

したがって、

$cos∠ACB = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + \frac{5}{x}) \geq \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

この不等式において、$x + \frac{5}{x}$ が最小となるのは、$x = \frac{5}{x}$、つまり、$x = \sqrt{5}$ の時です。したがって、$x = \sqrt{5}$ の時に $cos∠ACB$ も最小値をとります。

画像にある不等式 $\frac{1}{\sqrt{3}} \geq \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{x \cdot \frac{5}{x}}$　は明らかに間違いです。正しくは、$\frac{x + \frac{5}{x}}{2\sqrt{3}} \geq \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x \cdot \frac{5}{x}}$　のような形であるべきです。

一般に、ある不等式 $f(x) \geq C$ (Cは定数) が成立しており、等号成立条件が $x = a$ であるとき、$x = a$ で $f(x)$ は最小値 $C$ をとります。今回の問題では、$f(x)$ が $cos∠ACB$ を表す式であり、$C$ が $cos∠ACB$ の最小値に対応します。

3. 最終的な答え

等号成立の時に $cos∠ACB$ が最小値をとるのは、相加平均と相乗平均の大小関係を利用した不等式において、等号が成立する時が、不等式の左辺（$cos∠ACB$ を含む式）が最小となる時だからです。したがって、$cos∠ACB$ もその最小値をとります。