2つの直線 $y = 2x - 1$ と $y = \frac{1}{3}x + 1$ のなす角 $\theta$ を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = 2x - 1$ と $y = \frac{1}{3}x + 1$ のなす角 $\theta$ を求めます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

直線の傾きとtanの関係を利用します。

直線 $y = 2x - 1$ の傾きは $2$ なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を $\alpha$ とすると、

$$\tan \alpha = 2$$

直線 $y = \frac{1}{3}x + 1$ の傾きは $\frac{1}{3}$ なので、この直線とx軸の正の向きとのなす角を $\beta$ とすると、

$$\tan \beta = \frac{1}{3}$$

求める角 $\theta$ は、$\alpha - \beta$ または $\beta - \alpha$ の絶対値です。 今回は $\theta$ が鋭角なので、

$$\theta = |\alpha - \beta|$$

tan の加法定理より、

$$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$$

したがって、

$$\tan \theta = \tan |\alpha - \beta| = |\tan (\alpha - \beta)| = |1| = 1$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$