与えられた条件を満たす行列 $A$ を求める問題です。行列 $A$ を行に関する基本変形によって $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ に変形でき、さらに行列 $A$ の1列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、2列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるという条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす行列 $A$ を求める問題です。行列 $A$ を行に関する基本変形によって $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ に変形でき、さらに行列 $A$ の1列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、2列目が $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるという条件が与えられています。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を

$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & a \\ -1 & 3 & b \\ 1 & -1 & c \end{pmatrix}$

とおきます。

行基本変形によって $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ に変形できるということは、行列 $A$ のランクが2であることを意味します。

また、行列 $A$ を行基本変形して $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ にできるということは、ある正則行列 $P$ が存在して、$PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ となることを意味します。

$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & a \\ -1 & 3 & b \\ 1 & -1 & c \end{pmatrix}$ を行基本変形によって階段行列にすると、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ のような形になるはずです。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 & a \\ -1 & 3 & b \\ 1 & -1 & c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ -1 & 3 & b \\ 1 & -1 & c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 4 & b-a \\ 0 & -2 & c+a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 1 & \frac{b-a}{4} \\ 0 & -2 & c+a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 1 & \frac{b-a}{4} \\ 0 & 0 & c+a + 2(\frac{b-a}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 1 & \frac{b-a}{4} \\ 0 & 0 & \frac{2c+2a+b-a}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a \\ 0 & 1 & \frac{b-a}{4} \\ 0 & 0 & \frac{a+b+2c}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$a+b+2c = 0$ が成立する必要があります。

さらに、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の3列目は、1列目と2列目の線形結合で表されるので、

$a = \alpha * (-1) + \beta * (-1)$

$b = \alpha * (-1) + \beta * 3$

$c = \alpha * 1 + \beta * (-1)$

$a+b+2c=0$に代入すると、

$(- \alpha - \beta) + (-\alpha + 3\beta) + 2(\alpha - \beta) = 0$

$-\alpha - \beta - \alpha + 3\beta + 2\alpha - 2\beta = 0$

$0=0$

となり、$a+b+2c = 0$の制約条件は常に満たされます。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $\alpha$ と $\beta$ を求めます。

$-\alpha - \beta = 1$

$-\alpha + 3\beta = 1$

$\alpha - \beta = 0$

3つ目の式から $\alpha = \beta$。1つ目の式に代入して $-2\alpha = 1$ より $\alpha = \beta = -\frac{1}{2}$

$a = -\alpha-\beta = -(-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2}) = 1$

$b = -\alpha+3\beta = -(-\frac{1}{2}) + 3(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$

$c = \alpha - \beta = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 0$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$