与えられた2階線形常微分方程式の一般解を求め、初期条件 $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = v_0$ を満たす解を求める。さらに、$\dot{x}(t)$ のグラフを描く。与えられた微分方程式は以下の通り。 $m \frac{d^2x}{dt^2} = -k \frac{dx}{dt} + mg$

1. 問題の内容

与えられた2階線形常微分方程式の一般解を求め、初期条件 $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = v_0$ を満たす解を求める。さらに、$\dot{x}(t)$ のグラフを描く。与えられた微分方程式は以下の通り。

$m \frac{d^2x}{dt^2} = -k \frac{dx}{dt} + mg$

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を変形して、

$m \frac{d^2x}{dt^2} + k \frac{dx}{dt} = mg$

これは非斉次線形常微分方程式である。

ステップ1: 斉次方程式を解く

斉次方程式は

$m \frac{d^2x}{dt^2} + k \frac{dx}{dt} = 0$

これを解くために、特性方程式を考える。

$mr^2 + kr = 0$

$r(mr+k) = 0$

よって、$r_1 = 0$, $r_2 = -\frac{k}{m}$

したがって、斉次方程式の一般解は

$x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{k}{m}t}$

ここで、$C_1$と$C_2$は任意定数である。

ステップ2: 非斉次方程式の特殊解を求める

特殊解を $x_p(t) = At$ と仮定する。

$\frac{dx_p}{dt} = A$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$

元の微分方程式に代入すると、

$m(0) + kA = mg$

$kA = mg$

$A = \frac{mg}{k}$

したがって、特殊解は

$x_p(t) = \frac{mg}{k}t$

ステップ3: 一般解を求める

一般解は斉次解と特殊解の和で与えられる。

$x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}t$

ステップ4: 初期条件を適用する

初期条件 $x(0) = 0$ より、

$x(0) = C_1 + C_2 e^0 + \frac{mg}{k}(0) = C_1 + C_2 = 0$

$C_1 = -C_2$

$\dot{x}(t) = -\frac{k}{m}C_2 e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}$

初期条件 $\dot{x}(0) = v_0$ より、

$\dot{x}(0) = -\frac{k}{m}C_2 e^0 + \frac{mg}{k} = -\frac{k}{m}C_2 + \frac{mg}{k} = v_0$

$-\frac{k}{m}C_2 = v_0 - \frac{mg}{k}$

$C_2 = -\frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k}) = \frac{m}{k}(\frac{mg}{k} - v_0)$

$C_1 = -C_2 = \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k})$

したがって、解は

$x(t) = \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k}) - \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}t$

ステップ5: $\dot{x}(t)$ を求める

$\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}x(t) = \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k})\frac{k}{m}e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k} = (v_0 - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}$

ステップ6: $\dot{x}(t)$ のグラフを描く

$\dot{x}(t)$ は指数関数と定数の和で表される。

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{k}{m}t} \to 0$ であるから、$\dot{x}(t) \to \frac{mg}{k}$ となる。

$\dot{x}(0) = v_0$ である。

$\frac{d}{dt}\dot{x}(t) = -\frac{k}{m}(v_0 - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}$

$v_0 > \frac{mg}{k}$ のとき、$\frac{d}{dt}\dot{x}(t) < 0$ となり、$\dot{x}(t)$ は単調減少する。

$v_0 < \frac{mg}{k}$ のとき、$\frac{d}{dt}\dot{x}(t) > 0$ となり、$\dot{x}(t)$ は単調増加する。

$v_0 = \frac{mg}{k}$ のとき、$\dot{x}(t) = \frac{mg}{k}$ (定数) となる。

3. 最終的な答え

微分方程式の解は以下である。

$x(t) = \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k}) - \frac{m}{k}(v_0 - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}t$

$\dot{x}(t)$ は以下である。

$\dot{x}(t) = (v_0 - \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{mg}{k}$