与えられた二次関数のグラフに関する問題です。 (1) 二次関数の係数 $a$ の値と点Aの $y$ 座標を求める。 (2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。 (3) 直線ABの式を求める。 (4) 三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフに関する問題です。

(1) 二次関数の係数 $a$ の値と点Aの $y$ 座標を求める。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。

(3) 直線ABの式を求める。

(4) 三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフより、点Bの座標は $(0, 8)$ である。

このことから、二次関数の式は $y = ax^2$ ではなく、$y = ax^2 + 8$と表される。

また、グラフは点(-4, 0)を通るので、これを代入して$a$を求める。

$0 = a(-4)^2 + 8$

$0 = 16a + 8$

$16a = -8$

$a = -\frac{1}{2}$

よって、二次関数の式は $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ である。

点Aの $x$ 座標は $-4$ より大きいので、二次関数の式と直線ABの交点から読み取ると、$x=4$。

点Aの $y$ 座標は、$y = -\frac{1}{2}(4)^2 + 8 = -\frac{1}{2}(16) + 8 = -8 + 8 = 0$。点Aは放物線とx軸の交点なので放物線の方程式に代入すると、$y = -\frac{1}{2}(-4)^2 + 8 = -8+8 = 0$。

したがって、点Aの座標は (4,0)

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ において、 $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のとき、

$x=0$ で最大値 $y=8$ をとる。

$x=-3$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(-3)^2 + 8 = -\frac{9}{2} + 8 = \frac{7}{2} = 3.5$

$x=1$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 8 = -\frac{1}{2} + 8 = \frac{15}{2} = 7.5$

最小値は、$x=-3$のときの$\frac{7}{2}$。

したがって、$y$ の変域は $\frac{7}{2} \le y \le 8$

(3) A (4, 0), B (0, 8) を通る直線の式を求める。

直線の傾きは $\frac{8-0}{0-4} = \frac{8}{-4} = -2$ である。

切片は8なので、直線ABの式は $y = -2x + 8$ である。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

$\triangle OAB$ の底辺をOBとすると、OBの長さは8である。

高さは点Aのx座標の絶対値なので4である。

よって、$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{2}$, 点Aのy座標: 0

(2) $\frac{7}{2} \le y \le 8$

(3) $y = -2x + 8$

(4) 16