数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ という漸化式で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ という漸化式で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ の両辺を $n$ で置き換えて、$a_n = 3a_{n-1} + 4(n-1)$ を得ます。

次に、$a_{n+1} = 3a_n + 4n$ から $a_n = 3a_{n-1} + 4(n-1)$ を引くと、

$a_{n+1} - a_n = 3(a_n - a_{n-1}) + 4n - 4(n-1)$

$a_{n+1} - a_n = 3(a_n - a_{n-1}) + 4$

となります。ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、

$b_n = 3b_{n-1} + 4$

という漸化式が得られます。この漸化式を変形すると、

$b_n + 2 = 3(b_{n-1} + 2)$

となります。よって、数列 $\{b_n + 2\}$ は初項 $b_1 + 2$、公比 3 の等比数列です。

$b_1 = a_2 - a_1$ であり、$a_2 = 3a_1 + 4(1) = 3(1) + 4 = 7$ なので、$b_1 = 7 - 1 = 6$ です。

したがって、$b_1 + 2 = 6 + 2 = 8$ なので、

$b_n + 2 = 8 \cdot 3^{n-1}$

$b_n = 8 \cdot 3^{n-1} - 2$

となります。ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ なので、

$a_{n+1} - a_n = 8 \cdot 3^{n-1} - 2$

となります。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) = 1 + 8 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} - 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 8 \frac{3^{n-1} - 1}{3-1} - 2(n-1) = 1 + 4(3^{n-1} - 1) - 2n + 2 = 1 + 4 \cdot 3^{n-1} - 4 - 2n + 2 = 4 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1$

よって、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1$