関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3a$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M(a)$ を求める。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフである。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3a$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M(a)$ を求める。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフである。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成して、頂点の座標と軸の方程式を求める。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 3a = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3a = -(x-a)^2 + a^2 + 3a$

したがって、$f(x)$ のグラフの頂点は $(a, a^2 + 3a)$ であり、軸の方程式は $x = a$ である。

次に、$x = a$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けする。定義域は $0 \le x \le 1$ である。

(i) $a < 0$ のとき、$f(x)$ は $x=0$ で最大となる。

$M(a) = f(0) = -0^2 + 2a(0) + 3a = 3a$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$f(x)$ は $x=a$ で最大となる。

$M(a) = f(a) = a^2 + 3a$

(iii) $a > 1$ のとき、$f(x)$ は $x=1$ で最大となる。

$M(a) = f(1) = -1^2 + 2a(1) + 3a = -1 + 2a + 3a = 5a - 1$

3. 最終的な答え

頂点：$(a, a^2+3a)$

軸の方程式：$x = a$

(i) $a < 0$ のとき、$M(a) = 3a$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = a^2 + 3a$

(iii) $a > 1$ のとき、$M(a) = 5a - 1$