数列$\{a_n\}$が$a_1 = 4$、$a_{n+1} = \frac{4a_n + 3}{a_n + 2}$で定められている。このとき、$b_n = \frac{a_n - 3}{a_n + 1}$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 4$、$a_{n+1} = \frac{4a_n + 3}{a_n + 2}$で定められている。このとき、$b_n = \frac{a_n - 3}{a_n + 1}$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1}$を用いて$b_{n+1}$を表す。

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1} - 3}{a_{n+1} + 1}$

次に、$a_{n+1} = \frac{4a_n + 3}{a_n + 2}$を代入する。

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n + 3}{a_n + 2} - 3}{\frac{4a_n + 3}{a_n + 2} + 1}$

分母分子に$a_n + 2$を掛ける。

$b_{n+1} = \frac{4a_n + 3 - 3(a_n + 2)}{4a_n + 3 + (a_n + 2)}$

整理する。

$b_{n+1} = \frac{4a_n + 3 - 3a_n - 6}{4a_n + 3 + a_n + 2}$

$b_{n+1} = \frac{a_n - 3}{5a_n + 5}$

$b_{n+1} = \frac{a_n - 3}{5(a_n + 1)}$

ここで、$b_n = \frac{a_n - 3}{a_n + 1}$より、$a_n - 3 = b_n(a_n + 1)$であるから、

$b_{n+1} = \frac{b_n(a_n + 1)}{5(a_n + 1)}$

よって、

$b_{n+1} = \frac{b_n}{5}$

3. 最終的な答え

$b_{n+1} = \frac{1}{5} b_n$