関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2$ ($0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2$ ($0 \le x \le 2$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) - a^2 = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a^2 = -2(x - a)^2 + 2a^2 - a^2 = -2(x - a)^2 + a^2$.

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(a, a^2)$ であり、軸の方程式は $x = a$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めます。

軸 $x=a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 1$ のとき:

定義域の端点 $x=2$ で最小値をとります。

$m(a) = f(2) = -2(2)^2 + 4a(2) - a^2 = -8 + 8a - a^2 = -a^2 + 8a - 8$.

(ii) $a \ge 1$ のとき:

さらに $a$ の範囲で場合分けが必要です。

$1 \le a \le 2$ のとき、$x=0$または$x=2$で最小値をとります。$f(0) = -a^2$、$f(2) = -a^2+8a-8$。$f(2)-f(0)=8a-8 \ge 0$ よって、$f(0)$が最小値。

$a>2$のとき、$x=0$で最小値をとります。

よって$a \ge 1$ のとき $x=0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) - a^2 = -a^2$.

3. 最終的な答え

ア：$(a, a^2)$

イ：$a$

ウ：$8$

エ：$-8$

オ：$0$

カ：$0$