赤玉2個、白玉3個、青玉7個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉2個、白玉3個、青玉7個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、4個の玉を取り出すすべての組み合わせの数を計算します。

全部で12個の玉が入っているので、12個から4個を選ぶ組み合わせの数は、

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

次に、少なくとも1個が白玉である確率を直接計算するのは難しいので、余事象である「白玉が1個も含まれない」確率を計算し、それを1から引くことで求めます。

白玉が1個も含まれない場合、赤玉2個と青玉7個の中から4個の玉を選ぶことになります。赤玉2個と青玉7個を合計すると9個なので、9個から4個を選ぶ組み合わせの数は、

$_{9}C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

したがって、白玉が1個も含まれない確率は、

$\frac{_{9}C_4}{_{12}C_4} = \frac{126}{495} = \frac{14}{55}$

求める確率は、1からこの確率を引いたものなので、

$1 - \frac{14}{55} = \frac{55}{55} - \frac{14}{55} = \frac{41}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$