(1) $x > 1$ で $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x > 1$ で $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$x + 2(x^{\frac{1}{2}})(x^{-\frac{1}{2}}) + x^{-1} = 9$

$x + 2 + x^{-1} = 9$

$x + x^{-1} = 9 - 2$

$x + x^{-1} = 7$

次に、$x - x^{-1}$ を求める。

$(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}})^2 = x - 2 + x^{-1}$

$x + x^{-1} = 7$ より、

$(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}})^2 = 7 - 2 = 5$

したがって、$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = \pm \sqrt{5}$

$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ で $x>1$ より $x^{\frac{1}{2}} > 1$ 、また $x^{-\frac{1}{2}} < 1$ となるので、$x^{\frac{1}{2}} > x^{-\frac{1}{2}}$ 。よって、$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} > 0$ であるから、

$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) = 3\sqrt{5}$

$x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$x + x^{-1} = 7$

$x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$