与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+y+3)(x+y-5)$ (2) $(a+b+c)^2$ (3) $(a-b-6)^2$ (4) $(a+b+3)(a-b+3)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+y+3)(x+y-5)$

(2) $(a+b+c)^2$

(3) $(a-b-6)^2$

(4) $(a+b+3)(a-b+3)$

2. 解き方の手順

(1) $x+y = A$ と置くと、$(A+3)(A-5) = A^2 -2A - 15$ となる。$A$を元に戻すと、$(x+y)^2 - 2(x+y) - 15 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 15$

(2) $(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(a-b-6)^2 = ((a-b)-6)^2 = (a-b)^2 - 2(a-b)6 + 36 = a^2 - 2ab + b^2 - 12a + 12b + 36 = a^2 + b^2 -2ab - 12a + 12b + 36$

(4) $a+3 = A$ と置くと、$(A+b)(A-b) = A^2 - b^2$ となる。$A$を元に戻すと、$(a+3)^2 - b^2 = a^2 + 6a + 9 - b^2 = a^2 - b^2 + 6a + 9$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 2y - 15$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $a^2 + b^2 - 2ab - 12a + 12b + 36$

(4) $a^2 - b^2 + 6a + 9$