15-b(1) 6個の文字 a, b, c, d, e, f から異なる4個の文字を取り出して1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。 15-b(2) 10人の選手の中から、走る順番を考えて4人の走者を選ぶとき、その選び方は何通りあるか。 16-b(1) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、すべての整数は何個できるか。 16-b(2) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、3000以下の整数は何個できるか。 16-b(3) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、4000以上の整数は何個できるか。 16-b(4) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、偶数は何個できるか。

1. 問題の内容

15-b(1) 6個の文字 a, b, c, d, e, f から異なる4個の文字を取り出して1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。

15-b(2) 10人の選手の中から、走る順番を考えて4人の走者を選ぶとき、その選び方は何通りあるか。

16-b(1) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、すべての整数は何個できるか。

16-b(2) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、3000以下の整数は何個できるか。

16-b(3) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、4000以上の整数は何個できるか。

16-b(4) 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

15-b(1)

異なるn個のものからr個を選んで並べる順列の総数は $nPr = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)$ で求められる。

6個の文字から4個を選んで並べる順列なので、$6P4$ を計算する。

$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

15-b(2)

10人の選手から4人を選んで並べる順列なので、$10P4$ を計算する。

$10P4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

16-b(1)

7個の数字から4個を選んで並べる順列なので、$7P4$ を計算する。

$7P4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

16-b(2)

3000以下の整数を作る。

千の位が1, 2のときを考える。

千の位が1のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

千の位が2のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、3000以下の整数は $120 + 120 = 240$ 個。

16-b(3)

4000以上の整数を作る。

千の位が4, 5, 6, 7のときを考える。

千の位が4のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

千の位が5のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

千の位が6のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

千の位が7のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、4000以上の整数は $120 + 120 + 120 + 120 = 480$ 個。

16-b(4)

偶数を作る。

一の位が2, 4, 6のときを考える。

一の位が2のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

一の位が4のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

一の位が6のとき、残りの3桁は6個の数字から3個選んで並べるので $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、偶数は $120 + 120 + 120 = 360$ 個。

3. 最終的な答え

15-b(1): 360通り

15-b(2): 5040通り

16-b(1): 840個

16-b(2): 240個

16-b(3): 480個

16-b(4): 360個