(1) 異なる6個の文字 $a, b, c, d, e, f$ を辞書式に並べるとき、$cbadef$ は何番目になるか。 (2) $ONLINE$ の 6 文字を 1 列に並べるとき、$O, I, E$ がどの 2 つも隣り合わない並べ方は何通りあるか。 (3) 40 人のクラスで、電車通学の生徒が 25 人、バス通学の生徒が 18 人である。電車通学だけの生徒は何人以上、何人以下か。

離散数学順列組み合わせ場合の数集合
2025/7/14

1. 問題の内容

(1) 異なる6個の文字 a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f を辞書式に並べるとき、cbadefcbadef は何番目になるか。
(2) ONLINEONLINE の 6 文字を 1 列に並べるとき、O,I,EO, I, E がどの 2 つも隣り合わない並べ方は何通りあるか。
(3) 40 人のクラスで、電車通学の生徒が 25 人、バス通学の生徒が 18 人である。電車通学だけの生徒は何人以上、何人以下か。

2. 解き方の手順

(1) cbadefcbadef が何番目になるかを求める。
* aa から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* bb から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* caca から始まる文字列の数は 4!=244! = 24
* cbcb から始まる文字列の数は 4!=244! = 24
* cdacda から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
* cdbcdb から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
* cdccdc がないから、cda,cdbcda,cdb の次はcdaef,cdbef,...cdaef,cdbef,...となるが、cdecdeからはじまる文字列はないので、cda...cda...の次に来るのは cdaef,cdbefcdaef, cdbef, ccから始まるものでcdaefcdaefの次はcdafecdafeとなる。よって
cdaefcdaefの次はcdbcdbから始まる文字列となる。
* cbacbaから始まる文字列の数は cbacba から始まる文字列は 3!=63!=6
cbadefcbadefの順番を求めるには、ca,cbca, cbから始まる文字列の数と、cbacbaから始まる文字列の数、それら全てに加えて cbadefcbadef 自身を足し合わせることで求められる。
120+120+24+24+6+1=295120 + 120 + 24 + 24 + 6 +1 = 295
cbadefcbadefは295番目になる。
(2) ONLINEONLINE の 6 文字を 1 列に並べるとき、O,I,EO, I, E がどの 2 つも隣り合わない並べ方を求める。
まず、N,L,NN, L, N の 3 文字を並べる。NN が 2 つあるので、並べ方は 3!2!=3\frac{3!}{2!} = 3 通り。
例えば、NLNN L N という並びになったとする。このとき、O,I,EO, I, ENLNN L N の両端と間の 4 つの場所に並べる。
O,I,EO, I, E はどの 2 つも隣り合わないように並べるので、4 つの場所から 3 つを選んで O,I,EO, I, E を並べる。
場所の選び方は 4P3=4×3×2=24{}_4 P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24 通り。
よって、全体の並べ方は 3×24=723 \times 24 = 72 通り。
(3) 電車通学だけの生徒の人数を求める。
電車通学の生徒が 25 人、バス通学の生徒が 18 人、クラス全体が 40 人である。
電車通学とバス通学の両方している生徒の数を xx 人とすると、
25+18x4025 + 18 - x \le 40
43x4043 - x \le 40
x3x \ge 3
電車通学だけの生徒の数は 25x25 - x 人なので、25x253=2225 - x \le 25 - 3 = 22 人。
電車通学だけの生徒の最小人数は、バス通学だけの生徒が最大になる場合を考える。
バス通学だけの生徒は最大で 4025=1540 - 25 = 15 人なので、x=1815=3x = 18 - 15 = 3 人。
このとき、電車通学だけの生徒は 253=2225 - 3 = 22 人。
また、電車通学だけの生徒は最小で 2518=725 - 18 = 7 人 (バス通学の生徒が全員電車通学もしている場合)。
したがって、電車通学だけの生徒は 7 人以上 22 人以下である。

3. 最終的な答え

(1) 295 番目
(2) 72 通り
(3) 7 人以上 22 人以下

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