図のような格子状の道において、点Pから点Qまで最短経路で行く方法について、以下の3つの場合の数を求める問題です。 (1) PからQまでの最短経路の総数 (2) PからQまでの最短経路のうち、点Rと点Sの両方を通る経路の数 (3) PからQまでの最短経路のうち、×印の箇所を通らない経路の数

離散数学組み合わせ最短経路格子状の道
2025/7/14

1. 問題の内容

図のような格子状の道において、点Pから点Qまで最短経路で行く方法について、以下の3つの場合の数を求める問題です。
(1) PからQまでの最短経路の総数
(2) PからQまでの最短経路のうち、点Rと点Sの両方を通る経路の数
(3) PからQまでの最短経路のうち、×印の箇所を通らない経路の数

2. 解き方の手順

(1) PからQまでの最短経路の総数
PからQまで、右に6マス、下に4マス進む必要があります。したがって、合計10回の移動のうち、右に移動する6回を選べば経路が一意に決まります。これは組み合わせの問題として解けます。総経路数は (106){10 \choose 6} で計算できます。
(106)=10!6!4!=10×9×8×74×3×2×1=210{10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
(2) PからQまでの最短経路のうち、点Rと点Sの両方を通る経路の数
PからRまでの最短経路数、RからSまでの最短経路数、SからQまでの最短経路数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。
- PからRまで:右に2マス、下に1マスなので、(32)=3!2!1!=3{3 \choose 2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通り
- RからSまで:右に0マス、下に2マスなので、(20)=1{2 \choose 0} = 1 通り
- SからQまで:右に4マス、下に1マスなので、(54)=5!4!1!=5{5 \choose 4} = \frac{5!}{4!1!} = 5 通り
したがって、RとSをともに通る経路数は 3×1×5=153 \times 1 \times 5 = 15 通りです。
(3) PからQまでの最短経路のうち、×印の箇所を通らない経路の数
まず、PからQまでのすべての経路数から、×印の箇所を通る経路数を引きます。
Pから×印の箇所までの最短経路数は、右に3マス、下に1マスなので、(43)=4!3!1!=4{4 \choose 3} = \frac{4!}{3!1!} = 4 通りです。
×印の箇所からQまでの最短経路数は、右に3マス、下に3マスなので、(63)=6!3!3!=6×5×43×2×1=20{6 \choose 3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 通りです。
したがって、×印の箇所を通る経路数は 4×20=804 \times 20 = 80 通りです。
したがって、×印の箇所を通らない経路数は 21080=130210 - 80 = 130 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 210通り
(2) 15通り
(3) 130通り

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