5個の数字1, 2, 3, 4, 5をすべて使って5桁の整数を作る時、次の問いに答える。 (1) すべての整数はいくつできるか。 (2) 40000以上の整数はいくつできるか。 (3) 奇数はいくつできるか。

1. 問題の内容

5個の数字1, 2, 3, 4, 5をすべて使って5桁の整数を作る時、次の問いに答える。

(1) すべての整数はいくつできるか。

(2) 40000以上の整数はいくつできるか。

(3) 奇数はいくつできるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる5個の数字を1列に並べる順列の総数を求める。これは $5!$ で計算できる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 40000以上の整数となるのは、一万の位が4または5の場合である。

一万の位が4の場合：残りの4つの位には、1, 2, 3, 5の4つの数字を並べる。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

一万の位が5の場合：残りの4つの位には、1, 2, 3, 4の4つの数字を並べる。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

したがって、40000以上の整数は $24 + 24 = 48$個。

(3) 奇数となるのは、一の位が1, 3, 5の場合である。

一の位が1の場合：残りの4つの位には、2, 3, 4, 5の4つの数字を並べる。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

一の位が3の場合：残りの4つの位には、1, 2, 4, 5の4つの数字を並べる。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

一の位が5の場合：残りの4つの位には、1, 2, 3, 4の4つの数字を並べる。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

したがって、奇数は $24 + 24 + 24 = 72$個。

3. 最終的な答え

(1) 120個

(2) 48個

(3) 72個