与えられた数列 $2^2 + 5^2 + 8^2 + \dots + (3n-1)^2$ の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $2^2 + 5^2 + 8^2 + \dots + (3n-1)^2$ の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の一般項を求める。数列は $2, 5, 8, \dots, 3n-1$ の各項の二乗の和なので、この数列の第k項は $3k-1$ と表せる。したがって、与えられた数列の第k項は $(3k-1)^2$ である。

次に、この数列の和を$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$として計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 9k^2 - 6k + 1 = 9 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

であるから、

$9 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 3n(n+1) + n$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 2n}{2}$

$= \frac{n[3(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 2]}{2}$

$= \frac{n[3(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 2]}{2}$

$= \frac{n[6n^2 + 9n + 3 - 6n - 4]}{2}$

$= \frac{n(6n^2 + 3n - 1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(6n^2 + 3n - 1)}{2}$