$a$ を実数の定数とする。$x$ についての3次方程式 $x^3 + (a-2)x^2 + (1-3a)x - 12 = 0$ について、以下の問いに答える。 (1) この方程式は $a$ の値に関係なく $x = \boxed{1}$ を実数解にもつ。 (2) この方程式がただ1つの実数解をもつとき、$a$ のとり得る値の範囲は、$\boxed{-2} < a < \boxed{3}$ である。 (3) この方程式が重解をもつ $a$ のうち最も小さいものは、$a = - \frac{\boxed{4}\boxed{5}}{\boxed{6}}$ であり、このときの方程式の異なる解は小さい順に $x = \frac{\boxed{7}}{\boxed{8}}, \boxed{9}$ である。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての3次方程式 $x^3 + (a-2)x^2 + (1-3a)x - 12 = 0$ について、以下の問いに答える。

(1) この方程式は $a$ の値に関係なく $x = \boxed{1}$ を実数解にもつ。

(2) この方程式がただ1つの実数解をもつとき、$a$ のとり得る値の範囲は、$\boxed{-2} < a < \boxed{3}$ である。

(3) この方程式が重解をもつ $a$ のうち最も小さいものは、$a = - \frac{\boxed{4}\boxed{5}}{\boxed{6}}$ であり、このときの方程式の異なる解は小さい順に $x = \frac{\boxed{7}}{\boxed{8}}, \boxed{9}$ である。

2. 解き方の手順

(1) $x = c$ が解であるとき、方程式に代入すると $c^3 + (a-2)c^2 + (1-3a)c - 12 = 0$ となる。この式が $a$ の値に関係なく成り立つには、$a$ の項が消える必要がある。

$c^3 + ac^2 - 2c^2 + c - 3ac - 12 = 0$

$c^3 - 2c^2 + c - 12 + a(c^2 - 3c) = 0$

$a$ の係数が 0 となるためには、$c^2 - 3c = 0$ でなければならない。よって、$c(c-3)=0$ なので $c=0, 3$。

$c=0$ のとき、$-12 = 0$ となるので不適。

$c=3$ のとき、$3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 - 12 + a(3^2 - 3 \cdot 3) = 27 - 18 + 3 - 12 = 0$ となり、$x=3$ は解である。したがって、答えは3。

(2) $x^3 + (a-2)x^2 + (1-3a)x - 12 = 0$ は $x=3$ を解にもつので、$(x-3)$ で因数分解できる。

$x^3 + (a-2)x^2 + (1-3a)x - 12 = (x-3)(x^2 + (a+1)x + 4) = 0$

$x=3$ 以外の実数解を持たないためには、$x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ が実数解を持たないか、$x=3$ を重解に持つ必要がある。

$x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 4 = a^2 + 2a + 1 - 16 = a^2 + 2a - 15 = (a+5)(a-3)$

(i) $D < 0$ のとき、$(a+5)(a-3) < 0$ なので $-5 < a < 3$

(ii) $D = 0$ のとき、$a=-5, 3$

$a = -5$ のとき、$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ なので、$x=2$ (重解) となり、実数解は1つだけなので条件を満たす。

$a = 3$ のとき、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0$ なので、$x=-2$ (重解) となり、実数解は1つだけなので条件を満たす。

(iii) $x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ が $x=3$ を解にもつとき、$3^2 + (a+1)3 + 4 = 9 + 3a + 3 + 4 = 3a + 16 = 0$ なので $a = -\frac{16}{3}$

このとき $x^2 + (-\frac{16}{3} + 1)x + 4 = x^2 - \frac{13}{3}x + 4 = 0$

$3x^2 - 13x + 12 = 0$

$(3x-4)(x-3) = 0$ なので、$x = 3, \frac{4}{3}$ となり、実数解は2つなので不適。

したがって、実数解を1つだけ持つための $a$ の範囲は $-5 \le a < 3$

ところが、$a=-5$のとき、$x=2$が重解になるので、元の3次方程式は、$(x-3)(x-2)^2 = 0$ となり、$x=2, 3$ と実数解を2つ持つことになる。

そこで判別式$D = (a+1)^2 - 16 \ge 0$のとき，$x^2 + (a+1)x + 4 = 0$ の解を$\alpha, \beta$とおくと、$3 = \alpha$または$\beta$であれば良い。

すなわち、$3^2 + (a+1) \cdot 3 + 4 = 0$より、$3a + 16 = 0$、$a = -16/3 < -5$ このとき2つの実数解が存在するので不適。

$a=-5$のとき、$x^2 -4x + 4 = (x-2)^2 = 0$より、$x=2$ $a=3$のとき、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0$より、$x=-2$

結局 $-5<a<3$のときのみ実数解は$x=3$のみである。

(3) $a=-5$ のとき、$(x-3)(x-2)^2=0$ なので $x=2, 3$ で、重解は $x=2$。

$a=3$ のとき、$(x-3)(x+2)^2=0$ なので $x=-2, 3$ で、重解は $x=-2$。

$a = -\frac{16}{3}$ のとき、$(x-3)(x-\frac{4}{3}) = 0$ より $x = 3, \frac{4}{3}$ となり重解を持たない。

したがって、重解を持つ $a$ のうち最も小さいものは $a = -5$。このとき、$a = -\frac{5}{1}$。

$x = -2, 3$ より、小さい順に $x = -2, 3$。

よって、$a=-\frac{5}{1}$のとき、小さい順に$x=-2, 3$。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -5, 3

(3) 5, 1, -2, 3

最終的な答え

(1) 3

(2) -5 < a < 3

(3) a = -5 であり、このときの方程式の異なる解は小さい順に x = -2, 3 である。

4と5の間に"/"を挿入して分数であることを明示してください。

最終的な答え

(1) 3

(2) -5 < a < 3

(3) a = -5/1 であり、このときの方程式の異なる解は小さい順に x = -2, 3 である。