常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の対数の値を求めます。 (1) $\log_{10} 8$ (2) $\log_{10} 36$ (3) $\log_{10} 0.3$ (4) $\log_{10} 125$ (5) $\log_{10} \sqrt[3]{54}$ (6) $\log_{3} 8$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容

常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の対数の値を求めます。

(1) $\log_{10} 8$

(2) $\log_{10} 36$

(3) $\log_{10} 0.3$

(4) $\log_{10} 125$

(5) $\log_{10} \sqrt[3]{54}$

(6) $\log_{3} 8$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \log_{10} 2 = 3 \times 0.3010 = 0.9030$

(2) $\log_{10} 36 = \log_{10} (2^2 \times 3^2) = 2 \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3 = 2 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 0.6020 + 0.9542 = 1.5562$

(3) $\log_{10} 0.3 = \log_{10} \frac{3}{10} = \log_{10} 3 - \log_{10} 10 = 0.4771 - 1 = -0.5229$

(4) $\log_{10} 125 = \log_{10} 5^3 = 3 \log_{10} 5 = 3 \log_{10} \frac{10}{2} = 3 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) = 3 (1 - 0.3010) = 3 \times 0.6990 = 2.0970$

(5) $\log_{10} \sqrt[3]{54} = \log_{10} (54)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_{10} (2 \times 3^3) = \frac{1}{3} (\log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3) = \frac{1}{3} (0.3010 + 3 \times 0.4771) = \frac{1}{3} (0.3010 + 1.4313) = \frac{1}{3} (1.7323) = 0.5774333... \approx 0.5774$

(6) $\log_{3} 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 3} = \frac{\log_{10} 2^3}{\log_{10} 3} = \frac{3 \log_{10} 2}{\log_{10} 3} = \frac{3 \times 0.3010}{0.4771} = \frac{0.9030}{0.4771} = 1.8926848... \approx 1.8927$

3. 最終的な答え

(1) 0.9030

(2) 1.5562

(3) -0.5229

(4) 2.0970

(5) 0.5774

(6) 1.8927

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1. 問題の内容

常用対数 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の問いに答えます。

(1) $2^{40}$ は何桁の整数か。

(2) $3^{60}$ は何桁の整数か。

(3) $6^{52}$ は何桁の整数か。

(4) $\frac{27^{15}}{16^{17}}$ の整数部分は何桁か。

(5) $(\frac{1}{2})^{50}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(6) $(\frac{1}{3})^{20}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(7) $\sqrt[3]{(0.06)^{10}}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10} 2^{40} = 40 \log_{10} 2 = 40 \times 0.3010 = 12.04$. よって、$2^{40}$ は $12+1 = 13$ 桁の整数である。

(2) $\log_{10} 3^{60} = 60 \log_{10} 3 = 60 \times 0.4771 = 28.626$. よって、$3^{60}$ は $28+1 = 29$ 桁の整数である。

(3) $\log_{10} 6^{52} = 52 \log_{10} 6 = 52 \log_{10} (2 \times 3) = 52 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 52 (0.3010 + 0.4771) = 52 \times 0.7781 = 40.4612$. よって、$6^{52}$ は $40+1 = 41$ 桁の整数である。

(4) $\log_{10} \frac{27^{15}}{16^{17}} = \log_{10} 27^{15} - \log_{10} 16^{17} = 15 \log_{10} 3^3 - 17 \log_{10} 2^4 = 45 \log_{10} 3 - 68 \log_{10} 2 = 45 \times 0.4771 - 68 \times 0.3010 = 21.4695 - 20.468 = 1.0015$. よって、$\frac{27^{15}}{16^{17}}$ の整数部分は $1+1 = 2$ 桁である。

(5) $\log_{10} (\frac{1}{2})^{50} = 50 \log_{10} \frac{1}{2} = 50 (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) = 50 (0 - 0.3010) = -15.05$. 小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れるとき、$-n < \log_{10} x < -n+1$ が成り立つ。 $-16 < -15.05 < -15$ なので、小数第16位に初めて0でない数字が現れる。

(6) $\log_{10} (\frac{1}{3})^{20} = 20 \log_{10} \frac{1}{3} = 20 (\log_{10} 1 - \log_{10} 3) = 20 (0 - 0.4771) = -9.542$. $-10 < -9.542 < -9$ なので、小数第10位に初めて0でない数字が現れる。

(7) $\log_{10} \sqrt[3]{(0.06)^{10}} = \log_{10} (0.06)^{\frac{10}{3}} = \frac{10}{3} \log_{10} 0.06 = \frac{10}{3} \log_{10} \frac{6}{100} = \frac{10}{3} (\log_{10} 6 - \log_{10} 100) = \frac{10}{3} (\log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 2) = \frac{10}{3} (0.3010 + 0.4771 - 2) = \frac{10}{3} (-1.2219) = -4.073$. $-5 < -4.073 < -4$ なので、小数第5位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 13桁

(2) 29桁

(3) 41桁

(4) 2桁

(5) 小数第16位

(6) 小数第10位

(7) 小数第5位