3点$(1, 2)$, $(0, a)$, $(a, -4)$が同一直線上にあるような実数$a$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点$(1, 2)$, $(0, a)$, $(a, -4)$が同一直線上にあるような実数$a$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点が同一直線上にあるとき、任意の2点間の傾きは等しくなります。

まず、点$(1, 2)$と点$(0, a)$の傾きを計算します。

傾きは、$m_1 = \frac{a - 2}{0 - 1} = \frac{a - 2}{-1} = 2 - a$となります。

次に、点$(0, a)$と点$(a, -4)$の傾きを計算します。

傾きは、$m_2 = \frac{-4 - a}{a - 0} = \frac{-4 - a}{a}$となります。

3点が同一直線上にあるためには、$m_1 = m_2$である必要があります。したがって、

$2 - a = \frac{-4 - a}{a}$

これを解きます。

$a(2 - a) = -4 - a$

$2a - a^2 = -4 - a$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4$ または $a = -1$

$a=0$の時は、$m_2$が定義できないため、$a=0$は解にはなりません。

$a = 4$の場合、3点は(1, 2), (0, 4), (4, -4)となり、

(1, 2)と(0, 4)の傾きは(4-2)/(0-1) = 2/(-1) = -2

(0, 4)と(4, -4)の傾きは(-4-4)/(4-0) = -8/4 = -2

$a = -1$の場合、3点は(1, 2), (0, -1), (-1, -4)となり、

(1, 2)と(0, -1)の傾きは(-1-2)/(0-1) = -3/(-1) = 3

(0, -1)と(-1, -4)の傾きは(-4-(-1))/(-1-0) = -3/(-1) = 3

どちらの場合も3点は同一直線上にあります。

3. 最終的な答え

$a = 4$ または $a = -1$