3点 (1, 2), (3, 2a), (a, a+7) が同一直線上にあるような実数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 (1, 2), (3, 2a), (a, a+7) が同一直線上にあるような実数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点が同一直線上にあるということは、それらの点のうち任意の2点を通る直線の傾きが等しいということです。

まず、点(1, 2)と(3, 2a)を通る直線の傾きを求めます。傾きは、

$\frac{2a - 2}{3 - 1} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

次に、点(1, 2)と(a, a+7)を通る直線の傾きを求めます。傾きは、

$\frac{a+7 - 2}{a - 1} = \frac{a+5}{a-1}$

3点が同一直線上にあるための条件は、これらの傾きが等しいことなので、

$a - 1 = \frac{a+5}{a-1}$

両辺に$(a-1)$を掛けて整理すると、

$(a - 1)(a - 1) = a + 5$

$a^2 - 2a + 1 = a + 5$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(a - 4)(a + 1) = 0$

したがって、$a = 4$または$a = -1$です。

ここで、$a=1$の場合に点(1,2)と(a, a+7)を通る直線の傾きの式$\frac{a+5}{a-1}$の分母が0となるので、傾きが定義できず、3点が同一直線上に存在できない可能性があることに注意する必要があります。しかし、上記で求めた$a=4$または$a=-1$はいずれも$a=1$ではないので、この条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 4, -1$