不等式 $\frac{x-1}{2} \le a$ (①) と $\frac{1-2x}{3} < 1$ (②) が与えられています。 (1) ①と②を同時に満たす $x$ が存在しないとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (2) ①と②を同時に満たす整数 $x$ が2個だけ存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{x-1}{2} \le a$ (①) と $\frac{1-2x}{3} < 1$ (②) が与えられています。

(1) ①と②を同時に満たす $x$ が存在しないとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(2) ①と②を同時に満たす整数 $x$ が2個だけ存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式②を解きます。

$\frac{1-2x}{3} < 1$

$1-2x < 3$

$-2x < 2$

$x > -1$

不等式①を解きます。

$\frac{x-1}{2} \le a$

$x-1 \le 2a$

$x \le 2a+1$

①と②を同時に満たす $x$ が存在しないということは、$x > -1$ と $x \le 2a+1$ を同時に満たす $x$ が存在しないということです。

これは、$2a+1 \le -1$ のときです。

$2a \le -2$

$a \le -1$

(2)

①と②を同時に満たす整数 $x$ が2個だけ存在するということは、

$-1 < x \le 2a+1$ を満たす整数 $x$ が2個だけ存在するということです。

$x$ は整数なので、取りうる値は $0, 1, 2, ...$ です。

$x$ が2個だけ存在するということは、$x=0, 1$ が条件を満たすということです。

したがって、

$1 \le 2a+1 < 2$

$0 \le 2a < 1$

$0 \le a < \frac{1}{2}$

しかし、$x > -1$ と $x \le 2a+1$ より、 $-1 < x \le 2a+1$ です。

この範囲に整数が2つ入るためには、

$1 \le 2a+1 < 2$

となる必要があります。

$0 \le 2a < 1$

$0 \le a < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a \le -1$

(2) $0 \le a < \frac{1}{2}$