3点 $(2, -1)$, $(5, 6a)$, $(a, a^2 + 3)$ が同一直線上にあるような実数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(2, -1)$, $(5, 6a)$, $(a, a^2 + 3)$ が同一直線上にあるような実数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が同一直線上にあるとき、それらの点で作られるベクトルの傾きは等しい。つまり、2点間の傾きが等しい。

まず、点 $(2, -1)$ と点 $(5, 6a)$ を通る直線の傾きを求める。

傾き $m_1 = \frac{6a - (-1)}{5 - 2} = \frac{6a + 1}{3}$

次に、点 $(2, -1)$ と点 $(a, a^2 + 3)$ を通る直線の傾きを求める。

傾き $m_2 = \frac{a^2 + 3 - (-1)}{a - 2} = \frac{a^2 + 4}{a - 2}$

3点が同一直線上にあるためには、$m_1 = m_2$ が成り立つ必要があるので、

$\frac{6a + 1}{3} = \frac{a^2 + 4}{a - 2}$

両辺に $3(a - 2)$ を掛けて、

$(6a + 1)(a - 2) = 3(a^2 + 4)$

$6a^2 - 12a + a - 2 = 3a^2 + 12$

$6a^2 - 11a - 2 = 3a^2 + 12$

$3a^2 - 11a - 14 = 0$

$(3a - 14)(a + 1) = 0$

したがって、$a = \frac{14}{3}$ または $a = -1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{14}{3}, -1$