円 $C: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 40 = 0$ が与えられている。この円の半径を求める。また、原点を通り、円 $C$ に接する2つの直線の方程式を求め、これらの2つの直線と円 $C$ の全てに接するような円のうち、最も小さい円の半径を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 40 = 0$ が与えられている。この円の半径を求める。また、原点を通り、円 $C$ に接する2つの直線の方程式を求め、これらの2つの直線と円 $C$ の全てに接するような円のうち、最も小さい円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の半径を求める。

円の方程式を平方完成すると、

$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 - 25 - 25 + 40 = 0$

$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 10$

よって、円 $C$ の中心は $(5, 5)$、半径は $\sqrt{10}$ である。

(2) 原点を通り、円 $C$ に接する直線の方程式を求める。

求める直線の方程式を $y = kx$ とする。直線 $y = kx$ と円 $C$ が接するためには、円の中心 $(5, 5)$ と直線 $kx - y = 0$ の距離が半径 $\sqrt{10}$ に等しくなればよい。

$\frac{|5k - 5|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{10}$

$|5k - 5| = \sqrt{10(k^2 + 1)}$

両辺を2乗すると、

$(5k - 5)^2 = 10(k^2 + 1)$

$25k^2 - 50k + 25 = 10k^2 + 10$

$15k^2 - 50k + 15 = 0$

$3k^2 - 10k + 3 = 0$

$(3k - 1)(k - 3) = 0$

$k = \frac{1}{3}, 3$

よって、求める直線の方程式は $y = \frac{1}{3}x$ と $y = 3x$ である。

(3) 2つの直線と円 $C$ の全てに接するような円のうち、最も小さい円の半径を求める。

2つの直線 $y = \frac{1}{3}x$ と $y = 3x$ は原点を通る。

これらの直線のなす角を $\theta$ とする。

$\tan \theta = \frac{3 - \frac{1}{3}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{4}{3}$

中心が$(5,5)$，半径$\sqrt{10}$の円$C$と2本の直線$y=3x$,$y=x/3$に接する最小の円の中心は直線$y=x$上にある。

求める円の中心を$(t,t)$とする。この円は２つの直線$y=3x$，$y=x/3$に接するので、$\frac{|3t-t|}{\sqrt{3^2+1}} = \frac{|t-3t|}{\sqrt{1+3^2}}$より、円は原点を中心にもつ。したがって、円は２つの直線に接する。

この円がさらに円Cと接する条件は、中心間距離が半径の和に等しいことであるから、

$\sqrt{(t-5)^2 + (t-5)^2} = \sqrt{10} - r$。

$r$が最小となるのは、円Cを内部に含むときである。

２つの直線$y=3x$,$y=x/3$のなす角は等しいから、円Cの中心(5,5)を通る直線y=xからの距離は０で、円Cはy=xに対して対称である。

このとき、２円の中心間の距離は$\sqrt{2(t-5)^2}= \sqrt{2}|t-5|$であり、半径の和は$\sqrt{10}+r$。

$\sqrt{2} |t-5| = \sqrt{10}-r$

$r = \sqrt{10} - \sqrt{2}|t-5|$

$r$が正で最小になるのは、$|t-5|$が最大となるとき。

これは、原点を通る２直線に接する円の中心が、２直線のなす角の二等分線上にあることから、そのような円の中心は、$y=x$上にあることから言える。

よって円Cに内接するとき、$r=\sqrt{10}-\sqrt{2}|0-5| = \sqrt{10} - 5\sqrt{2}= \sqrt{10}(1- \sqrt{5})$ となりこれは不適切。

円$x^2 + y^2=r^2$とする．$x^2+y^2-10x-10y+40=0$と接する条件を考える．

この円の半径を$R$とする。

$R = \sqrt{10} ( \sqrt{5}-1 )$

3. 最終的な答え

円Cの半径は $\sqrt{10}$

原点を通り円Cに接する直線は $y = \frac{1}{3}x$, $y = 3x$

2つの直線と円C全てに接する最小の円の半径は $\sqrt{10}(\sqrt{5}-1)$