1つのサイコロを4回投げたとき、5の目がちょうど3回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げたとき、5の目がちょうど3回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

* 1回の試行で5の目が出る確率は $1/6$、5の目が出ない確率は $5/6$ です。

* 4回の試行で5の目がちょうど3回出る確率は、二項分布に従います。

* 二項分布の確率質量関数は次の式で表されます。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は成功確率です。

この問題では、$n=4$, $k=3$, $p=1/6$ なので、確率を計算します。

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$

したがって、

$P(X=3) = \binom{4}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^{4-3} = 4 \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{324}$