1個のサイコロを6回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 奇数の目がちょうど3回出る確率 (2) 2以下の目がちょうど4回出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを6回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 奇数の目がちょうど3回出る確率

(2) 2以下の目がちょうど4回出る確率

2. 解き方の手順

(1) 奇数の目がちょうど3回出る確率

サイコロを1回投げたとき、奇数の目が出る確率は $1/2$ です。

6回のうち3回奇数の目が出る確率は、二項分布に従います。

二項分布の公式は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=6$, $k=3$, $p=1/2$ を代入します。

$P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1-1/2)^{6-3}$

$P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1/2)^3$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$P(X=3) = 20 \times (1/2)^6 = 20/64 = 5/16$

(2) 2以下の目がちょうど4回出る確率

サイコロを1回投げたとき、2以下の目が出る確率は $2/6 = 1/3$ です。

6回のうち4回2以下の目が出る確率は、二項分布に従います。

二項分布の公式は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=6$, $k=4$, $p=1/3$ を代入します。

$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/3)^4 (1-1/3)^{6-4}$

$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/3)^4 (2/3)^2$

$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$P(X=4) = 15 \times (1/81) \times (4/9) = 15 \times 4 / (81 \times 9) = 60/729 = 20/243$

3. 最終的な答え

(1) 奇数の目がちょうど3回出る確率: $\frac{5}{16}$

(2) 2以下の目がちょうど4回出る確率: $\frac{20}{243}$