母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従う母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき、その標本平均 $\bar{X}$ について、$P(|\bar{X}-m|\geq \frac{\sigma}{4}) \leq 0.02$ を満たす最小の $n$ を求める。

1. 問題の内容

母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従う母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき、その標本平均 $\bar{X}$ について、$P(|\bar{X}-m|\geq \frac{\sigma}{4}) \leq 0.02$ を満たす最小の $n$ を求める。

2. 解き方の手順

$\bar{X}$ は平均 $m$、標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従う。

$Z = \frac{\bar{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

与えられた確率の式を変形する。

$P(|\bar{X}-m|\geq \frac{\sigma}{4}) \leq 0.02$

$P(|\frac{\bar{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}}|\geq \frac{\sigma/4}{\sigma/\sqrt{n}}) \leq 0.02$

$P(|Z|\geq \frac{\sqrt{n}}{4}) \leq 0.02$

$P(Z \geq \frac{\sqrt{n}}{4}) + P(Z \leq -\frac{\sqrt{n}}{4}) \leq 0.02$

$2P(Z \geq \frac{\sqrt{n}}{4}) \leq 0.02$

$P(Z \geq \frac{\sqrt{n}}{4}) \leq 0.01$

標準正規分布表より、$P(Z \geq 2.33) \approx 0.01$ であるから、$\frac{\sqrt{n}}{4} \geq 2.33$ である必要がある。

$\sqrt{n} \geq 4 \times 2.33 = 9.32$

$n \geq (9.32)^2 = 86.8624$

$n$ は整数なので、$n \geq 87$ である。

3. 最終的な答え

87