確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$P(|X-m| \geq \frac{\sigma}{4})$ を求めよ。ただし、小数第4位を四捨五入せよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$P(|X-m| \geq \frac{\sigma}{4})$ を求めよ。ただし、小数第4位を四捨五入せよ。

2. 解き方の手順

まず、$Z = \frac{X-m}{\sigma}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

したがって、

$P(|X-m| \geq \frac{\sigma}{4}) = P(|\frac{X-m}{\sigma}| \geq \frac{1}{4}) = P(|Z| \geq \frac{1}{4}) = P(Z \geq \frac{1}{4}) + P(Z \leq -\frac{1}{4})$.

標準正規分布の対称性より、$P(Z \geq \frac{1}{4}) = P(Z \leq -\frac{1}{4})$であるから、$P(|Z| \geq \frac{1}{4}) = 2P(Z \geq \frac{1}{4})$となる。

$P(Z \geq \frac{1}{4}) = 1 - P(Z < \frac{1}{4})$である。

標準正規分布表より、$P(Z < 0.25) = 0.5987$であるから、$P(Z \geq \frac{1}{4}) = 1 - 0.5987 = 0.4013$となる。

したがって、$P(|X-m| \geq \frac{\sigma}{4}) = 2 \times 0.4013 = 0.8026$となる。

小数第4位を四捨五入すると、$0.803$となる。

3. 最終的な答え

0.803