袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が2個入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題として解くことができます。

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

3回の試行で赤玉が2回出る確率は、3回のうち2回が赤玉で残り1回が白玉となる確率を求めます。これは二項分布に従い、以下の式で計算できます。

$P(\text{赤玉2回}) = {}_3 \mathrm{C}_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^1$

${}_3 \mathrm{C}_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

よって、確率は

$P(\text{赤玉2回}) = 3 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$