赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して色を確認した後、袋に戻す操作を4回繰り返す。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して色を確認した後、袋に戻す操作を4回繰り返す。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

1回の試行で赤玉が出る確率を $p$ とすると、

$p = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

1回の試行で白玉が出る確率を $q$ とすると、

$q = \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

4回の試行のうち、赤玉が2回出る確率は、二項分布の公式を用いて計算できます。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は1回の試行で成功する確率です。

この問題の場合、$n=4$, $k=2$, $p = \frac{2}{3}$ なので、

求める確率 $P$ は、

$P = \binom{4}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{4-2}$

$= \binom{4}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2$

$= \frac{4!}{2!2!} \left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{1}{9}\right)$

$= \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{4}{81}$

$= 6 \times \frac{4}{81}$

$= \frac{24}{81}$

$= \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$