正の数 $a$ を係数とする2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が、実数解 $p$ と $q$ を持ち、$p - q = 1$ を満たすとき、$a$ と $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

正の数 $a$ を係数とする2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が、実数解 $p$ と $q$ を持ち、$p - q = 1$ を満たすとき、$a$ と $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ の解が $p$ と $q$ であるから、解と係数の関係より、

\begin{align*}

p + q &= a \\

pq &= 1

\end{align*}

また、$p - q = 1$ である。

$p + q = a$ と $p - q = 1$ の2式から、$p$ と $q$ を $a$ で表すことを試みる。

2式を足し合わせると、

$2p = a + 1$

よって、

$p = \frac{a+1}{2}$

同様に、2式を引き合わせると、

$2q = a - 1$

よって、

$q = \frac{a-1}{2}$

ここで、$pq = 1$ であるから、

$(\frac{a+1}{2})(\frac{a-1}{2}) = 1$

$\frac{a^2 - 1}{4} = 1$

$a^2 - 1 = 4$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の数であるから、$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{a+1}{2}$ であり、$a = \sqrt{5}$ であるから、

$p = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$