この問題は、等加速度直線運動をしている物体の $v-t$ グラフが与えられており、以下の4つの問いに答えるものです。 (1) 物体の加速度 $a$ を求める。 (2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t_1$ と、その位置 $x_1$ を求める。 (3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ を求める。 (4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係をグラフで表す。

1. 問題の内容

この問題は、等加速度直線運動をしている物体の $v-t$ グラフが与えられており、以下の4つの問いに答えるものです。

(1) 物体の加速度 $a$ を求める。

(2) 物体が原点から最も遠ざかるときの時刻 $t_1$ と、その位置 $x_1$ を求める。

(3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ を求める。

(4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係をグラフで表す。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ は、$v-t$ グラフの傾きから求めることができます。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-12 - 20}{8.0 - 0} = \frac{-32}{8} = -4.0 \mathrm{\ m/s^2}$

(2) 物体が原点から最も遠ざかるとき、速度が0になります。$v-t$ グラフより、$v=0$ となる時刻 $t_1$ は、$20 + (-4.0)t_1 = 0$ より、

$t_1 = \frac{-20}{-4.0} = 5.0 \mathrm{\ s}$

その位置 $x_1$ は、$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ に代入して、

$x_1 = 20 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times (-4.0) \times (5.0)^2 = 100 - 50 = 50 \mathrm{\ m}$

(3) 8.0秒後の物体の位置 $x_2$ は、$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ に代入して、

$x_2 = 20 \times 8.0 + \frac{1}{2} \times (-4.0) \times (8.0)^2 = 160 - 128 = 32 \mathrm{\ m}$

(4) 経過時間 $t$ と物体の位置 $x$ の関係は、$x = 20t - 2t^2$ で表されます。

これは下に凸の放物線になり、頂点は $t=5.0 \mathrm{\ s}$、$x=50 \mathrm{\ m}$ の点になります。また、$t=0 \mathrm{\ s}$ で $x=0 \mathrm{\ m}$、$t=8.0 \mathrm{\ s}$ で $x=32 \mathrm{\ m}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 加速度 $a = -4.0 \mathrm{\ m/s^2}$

(2) 時刻 $t_1 = 5.0 \mathrm{\ s}$、位置 $x_1 = 50 \mathrm{\ m}$

(3) 位置 $x_2 = 32 \mathrm{\ m}$

(4) グラフは $x = 20t - 2t^2$ の放物線（下に凸）。