地面からの高さ 14.7m のところから、ボールを初速度 9.8m/s で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/s^2$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。 (2) 投げた点から最高点までの高さは何 m か。 (3) 地面から最高点までの高さは何 m か。 (4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。 (5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何 m/s か。 (6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。 (7) 地面に落下したときのボールの速さは何 m/s か。 (8) この運動の v-t グラフを描きなさい。

1. 問題の内容

地面からの高さ 14.7m のところから、ボールを初速度 9.8m/s で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/s^2$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。

(2) 投げた点から最高点までの高さは何 m か。

(3) 地面から最高点までの高さは何 m か。

(4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。

(5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何 m/s か。

(6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。

(7) 地面に落下したときのボールの速さは何 m/s か。

(8) この運動の v-t グラフを描きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が 0 m/s になる。等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を使う。ただし、$v_0 = 9.8 m/s$, $a = -9.8 m/s^2$, $v = 0 m/s$ である。

$0 = 9.8 - 9.8t$

$9.8t = 9.8$

$t = 1$

(2) 等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を使う。ただし、$v_0 = 9.8 m/s$, $a = -9.8 m/s^2$, $v = 0 m/s$ である。

$0^2 - 9.8^2 = 2(-9.8)x$

$-9.8^2 = -19.6x$

$x = \frac{9.8^2}{19.6} = \frac{9.8}{2} = 4.9$

(3) 地面から最高点までの高さは、投げ上げた点の高さ 14.7m に、投げた点から最高点までの高さ 4.9m を足したものである。

$14.7 + 4.9 = 19.6$

(4) 投げ上げた点に戻るまでの時間は、最高点に達するまでの時間の2倍である。

$1 \times 2 = 2$

(5) 投げ上げた点を通過するときの速さは、初速度と同じ大きさで向きが逆向きである。

$9.8 m/s$

(6) 地面に達するまでの時間を求める。投げ上げた点を原点とし、下向きを正とする。変位 $x = 14.7 m$, 初速度 $v_0 = -9.8 m/s$, 加速度 $a = 9.8 m/s^2$ とする。等加速度運動の公式 $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を使う。

$14.7 = -9.8t + \frac{1}{2}(9.8)t^2$

$14.7 = -9.8t + 4.9t^2$

$4.9t^2 - 9.8t - 14.7 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

時間の値は正であるので、$t = 3$

(7) 地面に落下するときのボールの速さを求める。等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ を使う。ただし、$v_0 = -9.8 m/s$, $a = 9.8 m/s^2$, $t = 3 s$ である。

$v = -9.8 + (9.8)(3) = -9.8 + 29.4 = 19.6$

下向きを正としているので、$19.6 m/s$

(8) v-t グラフは、縦軸に速度 v、横軸に時間 t をとったグラフである。初速度は 9.8 m/s で、加速度は -9.8 m/s^2 なので、傾きが -9.8 の直線になる。t=1 で v=0 となり、t=3 で v=-19.6 m/s となる。

3. 最終的な答え

(1) 1 秒後

(2) 4.9 m

(3) 19.6 m

(4) 2 秒後

(5) 9.8 m/s

(6) 3 秒後

(7) 19.6 m/s

(8) グラフは上記参照