高さ $h$ [m] の斜面上の質量 $m$ [kg] の物体Aが初速度ゼロで滑り落ち、水平面上に置かれた質量 $M$ [kg] の物体Bと衝突し一体となる。物体Bはばね定数 $k$ [N/m] のばねにつながれている。 (1) 衝突直前の物体Aの速さ $v$ [m/s] を求める。 (2) 衝突直後の一体となった物体の速さ $V$ [m/s] を求める。 (3) 一体となった後、ばねが最も縮んだときの縮み $x_{max}$ [m] を求める。 重力加速度の大きさは $g$ [m/s$^2$]とする。

1. 問題の内容

高さ $h$ [m] の斜面上の質量 $m$ [kg] の物体Aが初速度ゼロで滑り落ち、水平面上に置かれた質量 $M$ [kg] の物体Bと衝突し一体となる。物体Bはばね定数 $k$ [N/m] のばねにつながれている。

(1) 衝突直前の物体Aの速さ $v$ [m/s] を求める。

(2) 衝突直後の一体となった物体の速さ $V$ [m/s] を求める。

(3) 一体となった後、ばねが最も縮んだときの縮み $x_{max}$ [m] を求める。

重力加速度の大きさは $g$ [m/s$^2$]とする。

2. 解き方の手順

(1) 物体Aの水平面での衝突直前の速さ $v$ [m/s] を求める。

物体Aが斜面を滑り落ちる間、力学的エネルギーが保存される。

初期状態では、物体Aは高さ $h$ に静止しているので、位置エネルギーは $mgh$、運動エネルギーは $0$ である。

水平面に達したとき、位置エネルギーは $0$、運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

(2) 物体Aと物体Bが衝突し、一体となった直後の速さ $V$ [m/s] を求める。

衝突の際、運動量が保存される。

衝突前、物体Aの運動量は $mv$、物体Bの運動量は $0$ である。

衝突後、一体となった物体の質量は $m+M$、速さは $V$ なので、運動量は $(m+M)V$ である。

運動量保存則より、

$mv = (m+M)V$

$V = \frac{m}{m+M}v$

$V = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$

(3) 一体となった後、ばねが最も縮んだときの縮み $x_{max}$ [m] を求める。

一体となった物体がばねを縮める際、力学的エネルギーが保存される。

ばねが縮む前の運動エネルギーは $\frac{1}{2}(m+M)V^2$、ばねの弾性エネルギーは $0$ である。

ばねが最も縮んだとき、運動エネルギーは $0$、弾性エネルギーは $\frac{1}{2}kx_{max}^2$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}(m+M)V^2 = \frac{1}{2}kx_{max}^2$

$x_{max}^2 = \frac{m+M}{k}V^2$

$x_{max}^2 = \frac{m+M}{k} \left( \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh} \right)^2$

$x_{max}^2 = \frac{m+M}{k} \frac{m^2}{(m+M)^2} (2gh)$

$x_{max}^2 = \frac{2ghm^2}{k(m+M)}$

$x_{max} = \sqrt{\frac{2ghm^2}{k(m+M)}}$

$x_{max} = m\sqrt{\frac{2gh}{k(m+M)}}$

3. 最終的な答え

(1) 水平面での衝突直前の物体Aの速さ $v$ [m/s] は、

$v = \sqrt{2gh}$

(2) 物体Aと物体Bが衝突し、一体となった直後の速さ $V$ [m/s] は、

$V = \frac{m}{m+M}\sqrt{2gh}$

(3) 一体となったあと、ばねがもっとも縮んだときの縮んだ長さ $x_{max}$ [m] は、

$x_{max} = m\sqrt{\frac{2gh}{k(m+M)}}$